Question

9．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一個焦點F恰好與拋物線y²=8x的焦點F重合，且兩曲線的一個交點為P，若|PF|=5，則雙曲線的方程為（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{36}$-$\frac{{y}^{2}}{32}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1
• D． x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點坐標，頂點雙曲線方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）焦距，得到ab關(guān)系，求出P的坐標，把P點代入雙曲線方程求出雙曲線的標準方程．

解答 解：∵拋物線y²=8x的焦點F（2，0），
∴由題意知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一個焦點為F（2，0），
∴a²+b²=4，
∵P是拋物線與雙曲線的一個交點，|PF|=5，
∴p點橫坐標x_P=3，代入拋物線y²=8x得P（3，±2$\sqrt{6}$），
把P（3，±2$\sqrt{6}$）代入雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）得$\frac{9}{{a}^{2}}-\frac{24}{^{2}}=1$，整理，得a⁴-37a²+36=0，
解得a²=1，或a²=36（舍）
則b²=3，
所求雙曲線方程為：x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題，解題時要熟練掌握拋物線、雙曲線的簡單性質(zhì)．