Question

11．已知函數(shù)f（x）=alnx+x²（a為實常數(shù)），g（x）=x³+ax²-x+2．
（1）當(dāng)a=-4時，求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值及相應(yīng)的x值；
（2）當(dāng)a=-1時，求函數(shù)y=g（x）的圖象過點P（1，1）的切線方程；
（3）當(dāng)x∈[1，e]時，討論方程f（x）=0根的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得最大值及相應(yīng)的x的值；
（2）設(shè)出切點的坐標(biāo)，求得切線的斜率，解方程可得切點的坐標(biāo)，進而得到切線的方程；
（3）∈[1，e]，方程f（x）=0根的個數(shù)等價于x∈（1，e]時，方程$-a=\frac{x^2}{lnx}$根的個數(shù)，設(shè)g（x）=$\frac{x^2}{lnx}$，求得導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，畫出圖象，平移直線y=-a，即可得到所求根的情況

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=alnx+x²的導(dǎo)數(shù)為
$f'（x）=\frac{{2{x^2}-4}}{x}（x＞0）$，
當(dāng)$x∈[1，\sqrt{2}）$時，f'（x）＜0．當(dāng)$x∈（{\sqrt{2}，e}]$時，f'（x）＞0，
又f（e）-f（1）=-4+e²-1＞0，
故$f{（x）_{max}}=f（e）={e^2}-4$，當(dāng)x=e時，取等號；
（2）a=-1時，g（x）=x³-x²-x+2，設(shè)切點坐標(biāo)是M（x₀，y₀），（x₀≠1），
則有$\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}-1}$=3x₀²-2x₀-1，將y₀=x₀³-x₀²-x₀+2，代入上式整理得
2x₀³-4x₀²+2x₀=0，即2x₀（x₀-1）²=0，
得x₀=1或x₀=0．
則函數(shù)的圖象過點P（1，1）的切線方程為x+y-2=0或y=1．
（3）易知x≠1，故x∈[1，e]，方程f（x）=0根的個數(shù)等價于
x∈（1，e]時，方程$-a=\frac{x^2}{lnx}$根的個數(shù)．                                  
設(shè)g（x）=$\frac{x^2}{lnx}$，$g'（x）=\frac{{2xlnx-{x^2}\frac{1}{x}}}{{{{ln}^2}x}}=\frac{x（2lnx-1）}{{{{ln}^2}x}}$，
當(dāng)$x∈（{1，\sqrt{e}}）$時，g'（x）＜0，函數(shù)g（x）遞減，
當(dāng)$x∈（\sqrt{e}，\left.e]$時，g'（x）＞0，函數(shù)g（x）遞增．
又g（e）=e²，$g（\sqrt{e}）=2e$，
作出y=g（x）的圖象，由圖象知：
當(dāng)2e＜-a≤e²時，即-e²≤a＜-2e時，方程f（x）=0有2個相異的根；
當(dāng)a＜-e²或a=-2e時，方程f（x）=0有1個根；
當(dāng)a＞-2e時，方程f（x）=0有0個根．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想的運用，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．