Question

9．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，M為棱AC中點．AB=BC，AC=2，AA₁=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求證：B₁C∥平面A₁BM；
（Ⅱ）求證：AC₁⊥平面A₁BM；
（Ⅲ）在棱BB₁的上是否存在點N，使得平面AC₁N⊥平面AA₁C₁C？如果存在，求此時$\frac{BN}{{B{B_1}}}$的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)AB₁交A₁B于O，連結(jié)OM，可證OM∥B₁C，又OM?平面A₁BM，B₁C?平面A₁BM，即可證明B₁C∥平面A₁BM．
（Ⅱ）易證AA₁⊥BM，又可證BM⊥AC₁，由AC=2，AM=1，$A{A_1}=\sqrt{2}$，可求∠AC₁C+∠C₁AC=∠A₁MA+∠C₁AC=90°，從而可證A₁M⊥AC₁，從而證明AC₁⊥平面A₁BM．
（Ⅲ）當點N為BB₁中點時，可證平面AC₁N⊥平面AA₁C₁C，設(shè)AC₁中點為D，連結(jié)DM，DN，可證BM∥DN，由BM⊥平面ACC₁A₁，可證DN⊥平面ACC₁A₁，即可證明平面AC₁N⊥平面ACC₁A₁．

解答 （本小題共14分）
解：（Ⅰ）連結(jié)AB₁交A₁B于O，連結(jié)OM．
在△B₁AC中，因為M，O分別為AC，AB₁中點，
所以O(shè)M∥B₁C．    
又因為OM?平面A₁BM，B₁C?平面A₁BM，
所以B₁C∥平面A₁BM．     …（4分）
（Ⅱ）因為側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，BM?平面ABC，
所以AA₁⊥BM．
又因為M為棱AC中點，AB=BC，所以BM⊥AC．
因為AA₁∩AC=A，所以BM⊥平面ACC₁A₁．
所以BM⊥AC₁．
因為M為棱AC中點，AC=2，所以AM=1．
又因為$A{A_1}=\sqrt{2}$，所以在Rt△ACC₁和Rt△A₁AM中，$tan∠A{C_1}C=tan∠{A_1}MA=\sqrt{2}$．
所以∠AC₁C=∠A₁MA，即∠AC₁C+∠C₁AC=∠A₁MA+∠C₁AC=90°．
所以A₁M⊥AC₁．
因為BM∩A₁M=M，
所以AC₁⊥平面A₁BM．                                   …（10分）
（Ⅲ）當點N為BB₁中點時，即$\frac{BN}{{B{B_1}}}=\frac{1}{2}$，平面AC₁N⊥平面AA₁C₁C．
設(shè)AC₁中點為D，連結(jié)DM，DN．
因為D，M分別為AC₁，AC中點，
所以DM∥CC₁，且$DM=\frac{1}{2}C{C_1}$．
又因為N為BB₁中點，
所以DM∥BN，且DM=BN．
所以BM∥DN，
因為BM⊥平面ACC₁A₁，
所以DN⊥平面ACC₁A₁．
又因為DN?平面AC₁N，所以平面AC₁N⊥平面ACC₁A₁．   …（14分）

點評 本題主要考查了平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，考查了空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．