Question

14．用數(shù)學(xué)歸納法證明（n²-1）+2（n²-2²）+…+n（n²-n²）=$\frac{1}{4}$n²（n²-1）（n∈N₊）

Answer 1

分析 用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，去證明等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等時(shí)成立，用上歸納假設(shè)后，去證明當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立即可．

解答 證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，可知等式成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即（k²-1）+2（k²-2²）+…+k（k²-k²）=$\frac{1}{4}$k²（k²-1），
則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=1•[（k+1）²-1²]+2[（k+1）²-2²]+…+k[（k+1）²-k²]+（k+1）[（k+1）²-（k+1）²]
=1•（k²-1²）+2（k²-2²）+…+k（k²-k²）+1•（2k+1）+2（2k+1）+…+k（2k+1）
=$\frac{1}{4}$k⁴+（-$\frac{1}{4}$）k²+（2k+1）+2（2k+1）+…+k（2k+1）
=$\frac{1}{4}$k⁴+（-$\frac{1}{4}$）k²+（2k+1）+2（2k+1）+…+k（2k+1）
=$\frac{1}{4}$k⁴+（-$\frac{1}{4}$）k²+（2k+1）×$\frac{k（k+1）}{2}$
=$\frac{1}{4}$（k⁴+4k³+6k²+4k+1）-$\frac{1}{4}$（k²+2k+1）．
=$\frac{1}{4}$（k+1）⁴-$\frac{1}{4}$（k+1）²．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立．
由（1）（2）得（n²-1）+2（n²-2²）+…+n（n²-n²）=$\frac{1}{4}$n²（n²-1）（n∈N₊）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法，用好歸納假設(shè)是關(guān)鍵，考查邏輯推理與證明的能力，屬于中檔題．