Question

已知函數(shù)f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=e^x-x+1．（a為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底）
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，

1

2

）無(wú)零點(diǎn)，求a的最小值；
（3）若對(duì)任意給定的x₀∈（0，1]，在（0，e]上總存在兩個(gè)不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，令f′（x）＞0，可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；令f′（x）＜0，可得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，

1

2

）無(wú)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為對(duì)?x∈(0，

1

2

)，f（x）＞0恒成立；將參數(shù)a分離出，求函數(shù)的最小值．
（3）利用導(dǎo)數(shù)判定出函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1]上是增函數(shù)，求出g（x）∈（2，e]；進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）的最值，再根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理求出參數(shù)a滿足的條件．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-1-2lnx（x＞0）則f′(x)=1-

2

x

．
令f′（x）＞0得x＞2；令f′（x）＜0得0＜x＜2
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2]，單調(diào)遞增區(qū)間為[2，+∞）…（3分）
（2）∵函數(shù)f（x）＜0在區(qū)間(0，

1

2

)上不可能恒成立，
故要使函數(shù)f（x）在區(qū)間(0，

1

2

)上無(wú)零點(diǎn)，只要對(duì)?x∈(0，

1

2

)，f（x）＞0恒成立
．即對(duì)?x∈(0，

1

2

)，a＞2-

2lnx

x-1

恒成立．…（4分）
令l(x)=2-

2lnx

x-1

（x∈(0，

1

2

)）則l′(x)=

- 2 x (x-1)+2lnx

(x-1)2

=

2lnx+ 2 x -2

(x-1)2

再令m(x)=2lnx+

2

x

-2，則m′(x)=

2

x

-

2

x2

=

-2(1-x)

x2

，
∵x∈(0，

1

2

)，
∴m′（x）＜0
故函數(shù)m（x）在區(qū)間(0，

1

2

)上單調(diào)遞減，
∴m(x)＞m(

1

2

)=2-2ln2＞0
即l′（x）＞0，∴函數(shù)l（x）在區(qū)間(0，

1

2

)上單調(diào)遞增，
∴l(x)＜l(

1

2

)=2-4ln2…（6分）
故只要a≥2-4ln2函數(shù)f（x）在區(qū)間(0，

1

2

)上無(wú)零點(diǎn)，
所以a_min=2-4ln2…（7分）
（3）∵g′（x）=e^x-1，當(dāng)x∈（0，1]，g′（x）＞0，
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1]上是增函數(shù)．
∴g（x）∈（2，e]…（8分）
當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=-2lnx，不符題意
當(dāng)a≠2時(shí)，f′(x)═2-a-

2

x

=

(2-a)x-2

x

當(dāng)x=

2

2-a

時(shí)，f′（x）=0，由題意有f（x）在（0，e]上不單調(diào)，故0＜

2

2-a

＜e

x	(0， 2 2-a )	2 2-a	( 2 2-a ，e]
f′（x）	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞減	最小值	單調(diào)遞增

∴a＜2-

2

e

①…（9分）
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）變化情況如右：
又因?yàn)閤→0時(shí)，f（x）→+∞f(

2

2-a

)=a-2ln

2

2-a

，f(e)=(2-a)(e-1)-2
所以，對(duì)于給定的x₀∈（0，1]，在在（0，e]上總存在兩個(gè)不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立，
當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列條件

f( 2 2-a )≤2 f(e)≥e

即a-2ln

2

2-a

≤2②
（2-a）（e-1）-2≥e③…（11分）
令h(a)=a-2ln

2

2-a

，a∈(-∞，2-

2

e

)
，則h′(a)=

a

a-2

，令h′（a）=0，得a=0
故a∈（-∞，0）時(shí)，h′（a）＞0，
函數(shù)h（a）單調(diào)遞增a∈(0，2-

2

e

)時(shí)，h′（a）＜0，函數(shù)h（a）單調(diào)遞減
所以對(duì)任意的a∈(-∞，2-

2

e

)，h（a）≤h（0）=0≤2
由③得a≤

4-e

1-e

④，
由①④當(dāng)a∈(-∞，

4-e

1-e

]時(shí)，在（0，e]上總存在兩個(gè)不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立     …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于難題．