Question

17．橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的兩個焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點P在橢圓上，若△PF₁F₂為直角三角形，則點P到x軸的距離為$\frac{16}{5}$．

Answer 1

分析 橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，可得a，b，c，利用相互垂直的直線斜率乘積等于-1及其橢圓方程聯(lián)立解出即可．當PF₂⊥x軸或PF₁⊥x軸時，把x=c=3代入橢圓的方程即可得出．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，可得a²=25，b²=16，c²=a²-b²=9，
①當∠F₁PF₂=90°時，設p（x，y），
則x²+y²=9，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=9}\\{16{x}^{2}+25{y}^{2}=400}\end{array}\right.$，可得方程組無解；
②當PF₂⊥x軸或PF₁⊥x軸時，
把x=c=3代入橢圓的方程可得：$\frac{9}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，
解得y=±$\frac{16}{5}$，
可得點P到x軸的距離是$\frac{16}{5}$．
故答案為：$\frac{16}{5}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題．