Question

8．設(shè)M，N分別是曲線f（x）=-x³+x²（x＜$\sqrt{e}$）與g（x）=alnx（x≥$\sqrt{e}$）上一點(diǎn)，△MON是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且斜邊的中點(diǎn)恰好在y軸上，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{2}{e+1}$]．

Answer 1

分析 由題意不妨設(shè)N（t，f（t））（t≥$\sqrt{e}$），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出M的坐標(biāo)，利用向量垂直的條件列出式子并分離出a來，構(gòu)造函數(shù)h（x）=（x+1）lnx（x≥$\sqrt{e}$），求出導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性、求出最值，可得到a的范圍．

解答 解：由題意不妨設(shè)N（t，f（t））（t≥$\sqrt{e}$），
由M、N的中點(diǎn)恰好在y軸上得M（-t，t³+t²），
∵△MON是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{0N}=0$，
即-t²+f（t）（t³+t²）=0①，
當(dāng)t≥$\sqrt{e}$時(shí)，f（t）=alnt，
代入①式得：-t²+（alnt）（t³+t²）=0，即$\frac{1}{a}$=（t+1）lnt，
令h（x）=（x+1）lnx（x≥$\sqrt{e}$），
則h′（x）=lnx+1+$\frac{1}{x}$＞0，
∴h（x）在[$\sqrt{e}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∵t≥$\sqrt{e}$，∴h（t）≥h（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{2}$（e+1，）
∴h（t）的取值范圍是[$\frac{1}{2}$（e+1），+∞）．
∴對(duì)于0＜a≤$\frac{2}{e+1}$，方程①總有解，則滿足條件．
故答案為：（0，$\frac{2}{e+1}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量垂直的條件，中點(diǎn)坐標(biāo)公式的靈活應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、最值的關(guān)系，考查構(gòu)造法和分離參數(shù)法，屬于中檔題．