Question

8．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，P為該橢圓上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，且△PF₁F₂是等腰三角形，則△PF₁F₂的面積為2$\sqrt{5}$或$\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 求得橢圓的a，b，c，e，討論若等腰三角形△PF₁F₂中，|PF₁|=|PF₂|；若等腰三角形△PF₁F₂中，|PF₁|=|F₁F₂|，或|PF₂|=|F₁F₂|，求得P的縱坐標(biāo)，由三角形的面積公式，即可得到所求值．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的a=3，b=$\sqrt{5}$，c=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$，
若等腰三角形△PF₁F₂中，|PF₁|=|PF₂|，
則P為橢圓的短軸上的一個(gè)端點(diǎn)，
即有△PF₁F₂的面積為$\frac{1}{2}$b•2c=bc=2$\sqrt{5}$；
若等腰三角形△PF₁F₂中，|PF₁|=|F₁F₂|，或|PF₂|=|F₁F₂|，
由對(duì)稱性可得面積相等．
由|PF₁|=3+$\frac{2}{3}$x_P=4，解得x_P=$\frac{3}{2}$，
代入橢圓方程，可得y_P=±$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
即有△PF₁F₂的面積為$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{15}}{2}$•2c=$\sqrt{15}$．
故答案為：2$\sqrt{5}$或$\sqrt{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的面積的求法，考查橢圓的方程和性質(zhì)的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．