Question

1．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），作直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)．M為線段PQ的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線1的斜率為k₁，直線OM的斜率為k₂，k₁k₂=-$\frac{2}{3}$．
（I）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)D（-5，0），且滿足$\overrightarrow{DP}$=2$\overrightarrow{QD}$，當(dāng)△0PQ的面積最大時(shí)，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 （I）設(shè)點(diǎn)，代入橢圓方程，利用點(diǎn)差法，結(jié)合線段PQ的中點(diǎn)為M，再由離心率公式，即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）由（1）知可得橢圓的方程為2x²+3y²=6c²，設(shè)直線l的方程為x=my-5，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及$\overrightarrow{DP}$=2$\overrightarrow{QD}$，確定P，Q坐標(biāo)之間的關(guān)系，表示出面積，利用基本不等式求出S_△OPQ的最大值，即可得到橢圓的方程．

解答 解：（I）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
由題意可得$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}$=1，
兩式相減可得，$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{^{2}}$=0，
由k₁=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
即有k₁k₂=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{2}{3}$，
即為2a²=3b²=3（a²-c²），
即c²=$\frac{1}{3}$a²，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a²=3c²，b²=2c²，
橢圓的方程為2x²+3y²=6c²，①
可設(shè)直線l的方程為x=my-5②，
將②代入①中整理得（3+2m²）y²-20my+50-6c²=0，
因?yàn)橹本�l與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，所以△=4（12m²c²+18c²-150）＞0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則y₁+y₂=$\frac{20m}{3+2{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{50-6{c}^{2}}{3+2{m}^{2}}$，
|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{\frac{400{m}^{2}}{（3+2{m}^{2}）^{2}}-\frac{200-24{c}^{2}}{3+2{m}^{2}}}$
又$\overrightarrow{DP}$=2$\overrightarrow{QD}$，可得（x₁+5，y₁）=2（-5-x₂，-y₂），
即為y₁=-2y₂，代入韋達(dá)定理，可得
c²=$\frac{25+150{m}^{2}}{3+2{m}^{2}}$，
即有|y₁-y₂|=$\frac{60|m|}{3+2{m}^{2}}$=$\frac{60}{2|m|+\frac{3}{|m|}}$≤$\frac{60}{2\sqrt{6}}$=5$\sqrt{6}$，
當(dāng)且僅當(dāng)2|m|=$\frac{3}{|m|}$，即為m=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$時(shí)，取得等號(hào)．
又△0PQ的面積為S=$\frac{1}{2}$|OD|•|y₁-y₂|=$\frac{5}{2}$|y₁-y₂|的最大值為$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
此時(shí)，m²=$\frac{3}{2}$，c²=$\frac{25+225}{6}$=$\frac{125}{3}$，
所求橢圓的方程為2x²+3y²=250，
即$\frac{{x}^{2}}{125}$+$\frac{3{y}^{2}}{250}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解題的關(guān)鍵是確定幾何量之間的關(guān)系，利用直線與橢圓聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理和基本不等式求解，屬于中檔題．