Question

11．已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bcosC=（2a-c）cosB
（1）求角B的大�。�
（2）求y=cosA+cosC的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理和和差角三角函數(shù)可得cosB=$\frac{1}{2}$，可得B=$\frac{π}{3}$；
（2）由（1）可得C=$\frac{2π}{3}$-A，A∈（0，$\frac{2π}{3}$），消元由和差角的三角函數(shù)公式可得y=sin（A+$\frac{π}{6}$），由三角函數(shù)的值域可得．

解答 解：（1）∵△ABC中bcosC=（2a-c）cosB，
∴由正弦定理可得sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB，
∴sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB，
∴2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，
由三角形內(nèi)角范圍可得sinA≠0，∴cosB=$\frac{1}{2}$，B=$\frac{π}{3}$；
（2）由（1）可得A+C=$\frac{2π}{3}$，C=$\frac{2π}{3}$-A，A∈（0，$\frac{2π}{3}$），
∴y=cosA+cosC=cosA+cos（$\frac{2π}{3}$-A）=cosA-$\frac{1}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA
=$\frac{1}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA=sin（A+$\frac{π}{6}$），
∵A∈（0，$\frac{2π}{3}$），∴A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，
∴y=cosA+cosC的取值范圍為（$\frac{1}{2}$，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正余弦定理解三角形，涉及和差角的三角函數(shù)和三角函數(shù)的值域，屬中檔題．