Question

19．如圖，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-4，4），△BCD的三個(gè)頂點(diǎn)B（0，0），C（0，2），D（2，0）．
（1）求該拋物線的表達(dá)式和直線AC的表達(dá)式；
（2）若將△BCD沿射線CA方向平移$\sqrt{5}$個(gè)單位長(zhǎng)度后得到△B′C′D′
①請(qǐng)判斷此時(shí)直角頂點(diǎn)B′是否落在此拋物線上；
②求平移過程中三角形所掃過的面積；
③將△B′C′D′繞平面內(nèi)其一點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使得旋轉(zhuǎn)后的三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)落在拋物線上，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的方程為y=ax²，代入（-4，4），解方程可得；
（2）①由題意可得B'在直線y=-$\frac{1}{2}$x上，求得B'的坐標(biāo)，代入即可判斷；
②平移過程中三角形所掃過的面積為平行四邊形BCC'B'和三角形BCD的面積之和．計(jì)算即可得到所求值；
③設(shè)旋轉(zhuǎn)后的三角形為△B''C''D''，有三種情況：當(dāng)B''，C''在拋物線上；當(dāng)B''，D''在拋物線上；當(dāng)C''，D''在拋物線上，即可得到所求中心的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的方程為y=ax²，
代入（-4，4），可得4=16a，解得a=$\frac{1}{4}$，
即拋物線的方程為y=$\frac{1}{4}$x²；
直線AC的方程為y=-$\frac{1}{2}$x+2；
（2）①由題意可得B'在直線y=-$\frac{1}{2}$x上，
且|B'B|=$\sqrt{5}$，可得B'（-2，1），
即有B'在拋物線上；
②平移過程中三角形所掃過的面積為：平行四邊形BCC'B'和三角形BCD的面積之和．
由兩平行線y=-$\frac{1}{2}$x和y=-$\frac{1}{2}$x+2的距離為$\frac{|2|}{\sqrt{1+\frac{1}{4}}}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，
可得所求面積為$\sqrt{5}$•$\frac{4}{\sqrt{5}}$+$\frac{1}{2}$•2•2=6；
③設(shè)旋轉(zhuǎn)后的三角形為△B''C''D''，
有三種情況：當(dāng)B''，C''在拋物線上，可得B''C''平行于x軸，
可得旋轉(zhuǎn)中心為（0，2）；
當(dāng)B''，D''在拋物線上，則B''D''平行于y軸，由拋物線的性質(zhì)，可得不存在；
當(dāng)C''，D''在拋物線上，則C''D''的斜率為-1，
可得旋轉(zhuǎn)中心為（$\frac{1}{8}$，$\frac{25}{8}$）．
綜上可得，旋轉(zhuǎn)中心為（0，2），（$\frac{1}{8}$，$\frac{25}{8}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程的求法，注意運(yùn)用待定系數(shù)法，考查掃過圖形的面積的求法，注意觀察由平行四邊形和三角形的面積可得，同時(shí)考查旋轉(zhuǎn)中心的求法，注意運(yùn)用討論的思想方法，借助數(shù)形結(jié)合，屬于中檔題．