Question

19．設(shè)命題p：函數(shù)f（x）=lg（ax²-x+$\frac{a}{16}$）的定義域?yàn)镽；命題q：x-x²＜a對一切的實(shí)數(shù)x恒成立，如果命題“p且q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p：任意的x，ax²-x+$\frac{a}{16}$＞0恒成立，則：$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-\frac{{a}^{2}}{4}＜0}\end{array}\right.$，解得a范圍．命題q：由于x-x²=-$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{4}$，利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得$a＞\frac{1}{4}$．
由命題“p且q”為假命題，可得：p與q至少有一個為假，命題“p與q至少有一個為假”的非命題是：p與q都為真命題：則$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{a＞\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，解得a范圍，進(jìn)而得出．

解答 解：命題p：任意的x，ax²-x+$\frac{a}{16}$＞0恒成立，則：$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-\frac{{a}^{2}}{4}＜0}\end{array}\right.$，解得a＞2，
命題q：∵x-x²=-$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，∴$a＞\frac{1}{4}$．
∵命題“p且q”為假命題，∴p與q至少有一個為假，
命題“p與q至少有一個為假”的非命題是：p與q都為真命題：則$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{a＞\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，解得a＞2．
由于p與q至少有一個為假，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，2]．

點(diǎn)評 本題考查了對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．