Question

9．已知f（x）=|$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$x|-|$\frac{5}{4}$+$\frac{1}{2}$x|
（Ⅰ）關(guān)于x的不等式f（x）≥a²-3a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若f（m）+f（n）=4，且m＜n，求m+n的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的最小值為-2，再根據(jù)-2≥a²-3a，求得a的范圍．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性f（m）≤2，f（n）≤2，結(jié)合f（m）+f（n）=4，可得m＜n≤-$\frac{5}{2}$，由此求得m+n的范圍．

解答 解：（Ⅰ）關(guān)于x的不等式f（x）≥a²-3a恒成立，即|$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$x|-|$\frac{5}{4}$+$\frac{1}{2}$x|≥a²-3a恒成立．
由于f（x）=|$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$x|-|$\frac{5}{4}$+$\frac{1}{2}$x|=$\left\{\begin{array}{l}{-2，x≥\frac{3}{2}}\\{-x-\frac{1}{2}，-\frac{5}{2}＜x＜\frac{3}{2}}\\{2，x≤-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，故f（x）的最小值為-2，
∴-2≥a²-3a，求得1≤a≤2．
（Ⅱ）由于f（x）的最大值為2，∴f（m）≤2，f（n）≤2，
若f（m）+f（n）=4，∴m＜n≤-$\frac{5}{2}$，∴m+n＜-5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，求函數(shù)的最值，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．