Question

8．在銳角△ABC中，已知∠A，∠B，∠C成等差數(shù)列，設(shè)y=sinA-cos（A-C+2B），則y的取值范圍是（0，2）．

Answer 1

分析 由題意可得2∠B=∠A+∠C，再化簡y=sinA-cos2A=2${（sinA+\frac{1}{4}）}^{2}$-$\frac{9}{8}$，根據(jù)A∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），sinA∈（$\frac{1}{2}$，1），利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得y的取值范圍．

解答 解：銳角△ABC中，∵∠A，∠B，∠C成等差數(shù)列，∴2∠B=∠A+∠C，∴∠B=$\frac{π}{3}$．
設(shè)y=sinA-cos（A-C+2B）=sinA-cos2A=sinA-1+2sin²A=2${（sinA+\frac{1}{4}）}^{2}$-$\frac{9}{8}$．
設(shè)銳角△ABC的最大角為$\frac{π}{3}$+α＜$\frac{π}{2}$，則最小角為為$\frac{π}{3}$-α＞0，∴0＜α＜$\frac{π}{6}$，
∵A∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），∴sinA∈（$\frac{1}{2}$，1），∴y∈（0，2），
故答案為：（0，2）．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．