Question

20．?dāng)?shù)列{a_n}前n項(xiàng)和S_n=3ⁿ-1，
（1）試寫出數(shù)列的前4項(xiàng)，
（2）數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列嗎？
（3）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）在數(shù)列的前n項(xiàng)和公式中，分別取n=1，2，3，4，結(jié)合a_n=S_n-S_n-1求得數(shù)列的前4項(xiàng)；
（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，由等比數(shù)列的定義證明數(shù)列是等比數(shù)列；
（3）直接由（2）得答案．

解答 解：（1）由S_n=3ⁿ-1，
得a₁=S₁=2，a₂=S₂-S₁=6，a₃=S₃-S₂=18，a₄=S₄-S₃=54；
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={3}^{n}-1-（{3}^{n-1}-1）=2•{3}^{n-1}$，
驗(yàn)證n=1時(shí)，上式成立，
∴${a}_{n}=2•{3}^{n-1}$，
由$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{2•{3}^{n}}{2•{3}^{n-1}}=3$（常數(shù)），可得數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（3）由（2）可得${a}_{n}=2•{3}^{n-1}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了由數(shù)列的前n項(xiàng)和求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．