Question

12．下列命題錯誤的是（　�。�

• A． 命題“若x²+y²=0，則x=y=0”的逆否命題為“若x，y中至少有一個不為0則x²+y²≠0”
• B． 若命題p：?x₀∈R，x₀²-x₀+1≤0，則￢p：?x∈R，x²-x+1＞0
• C． △ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要條件
• D． 若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$＞0，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為銳角

Answer 1

分析 直接寫出命題的逆否命題判斷A；寫出命題的否定判斷B；由充要條件的判斷方法判斷C；由$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$＞0，可得$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為銳角或0角判斷D．

解答 解：A．依據命題“若p，則q”的逆否命題是“若￢q，則￢p”，
可知：命題“若x²+y²=0，則x=y=0”的逆否命題為“若x，y中至少有一個不為0，則x²+y²≠0”．可判斷出A正確；
B．依據命題的否定法則：“命題：?x₀∈R，x₀²-x₀+1≤0”的否定應是“?x∈R，x²-x+1＞0”，故B是真命題；
C．由于sinA-sinB=2cos$\frac{A+B}{2}$sin$\frac{A-B}{2}$，在△ABC中，∵0＜A+B＜π，∴0＜$\frac{A+B}{2}$＜$\frac{π}{2}$，則0＜cos$\frac{A+B}{2}$＜1，
又0＜B＜A＜π，∴0＜A-B＜π，0＜$\frac{A-B}{2}$＜$\frac{π}{2}$，則0＜sin$\frac{A-B}{2}$＜1．
據以上可知：在△ABC中，sinA＞sinB?sin$\frac{A-B}{2}$＞0?A＞B．故在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要條件．因此C正確；
D．由向量$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞＞0，∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞＞0，∴$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為銳角或0角．D錯誤．
故選：D．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查了命題的否定與逆否命題，訓練了充分必要條件的判定方法，屬中檔題．