Question

7．已知命題p：?x∈R，使得x²-2x+m＜0，命題q：方程$\frac{{x}^{2}}{m+1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1表示橢圓．
（Ⅰ）寫出命題p的否定形式；
（Ⅱ）若命題p∨q為真，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用￢p定義即可得出；
（II）命題p：?x∈R，使得x²-2x+m＜0，可得△=4-4m≥0，解得m．命題q：方程$\frac{{x}^{2}}{m+1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1表示橢圓，可得$\left\{\begin{array}{l}{m+1＞0}\\{2-m＞0}\\{m+1≠2-m}\end{array}\right.$，解得m范圍．由命題p∨q為真，
求其并集即可得出．

解答 解：（I）￢p：?x∈R，使得x²-2x+m≥0．
（II）∵命題p：?x∈R，使得x²-2x+m＜0，∴△=4-4m≥0，解得m≤1．
命題q：方程$\frac{{x}^{2}}{m+1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1表示橢圓，∴$\left\{\begin{array}{l}{m+1＞0}\\{2-m＞0}\\{m+1≠2-m}\end{array}\right.$，解得-1＜m＜2，且m$≠\frac{1}{2}$．
∵命題p∨q為真，
∴m＜2．
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)易邏輯的判定方法、一元二次不等式的解法、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．