Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2a_n-2，數(shù)列{b_n}中，b₁=1，b_n+1=2b_n+1．
（1）求a₁以及a_n；
（2）求證：數(shù)列{b_n+1}為等比數(shù)列，并求出b_n；
（3）設(shè)c_n=a_n•log₂（b_n+1），求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a₁=2，a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1-2a_n，從而{a_n}是以2為公比的等比數(shù)列，由此能求出an=2n．
（2）由已知得b_n+1+1=2（b_n+1），b₁+1=2，從而能證明{b_n+1}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，由此能求出b_n=2ⁿ-1．
（3）由c_n=a_n•log₂（b_n+1）=2ⁿ•n，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2a_n-2，
∴a₁=S₁=2a₁-2=，解得a₁=2，
∴S_n=2a_n-2，
S_n+1=2a_n+1-2
a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1-2a_n，
a_n+1=2a_n，
∴

an+1

an

=2，
∴{a_n}是以2為公比的等比數(shù)列，
∴an=2n．
（2）∵數(shù)列{b_n}中，b₁=1，b_n+1=2b_n+1，
∴b_n+1+1=2（b_n+1），
又b₁+1=2，
∴{b_n+1}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
∴b_n+1=2ⁿ，b_n=2ⁿ-1．
（3）c_n=a_n•log₂（b_n+1）=2ⁿ•n，
∴T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①
2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
∴①-②，得：
-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1
∴T_n=2-（n+1）•2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．