Question

3．如圖，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE．
（1）求證：AE⊥BE；
（2）設(shè)M為AB中點(diǎn)，求證：MF∥平面DAE．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件可以得到BC⊥平面ABE，從而有AE⊥BC，根據(jù)BF⊥平面ACE，便可得到AE⊥BF，從而可以根據(jù)線面垂直的判定定理得到AE⊥平面BCE，從而有AE⊥BE；
（2）根據(jù)BE=BC，BF⊥CE便可得出F為CE中點(diǎn)，可取AC的中點(diǎn)N，連接MN，F(xiàn)N，MF，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)及面面平行的判定定理便可得出平面MNF∥平面DAE，從而得出MF∥平面DAE．

解答 證明：（1）證明：AD⊥平面ABE，AD∥BC；
∴BC⊥平面ABE，AE?平面ABE；
∴AE⊥BC；
又∵BF⊥平面ACE，則AE⊥BF，BF∩BC=B；
∴AE⊥平面BCE，BE?平面BCE；
∴AE⊥BE；
（2）如圖，取AC中點(diǎn)N，連結(jié)MN，F(xiàn)N，F(xiàn)M；

∵M(jìn)，N分別為AB，AC的中點(diǎn)；
∴MN∥BC；
∴MN∥AD，AD?平面DAE，MN?平面DAE；
∴MN∥平面DAE；
EB=BC，BF⊥CE，∴F為CE中點(diǎn)；
∴NF∥AE；
∴NF∥平面DAE，NF∩MN=N；
∴平面MNF∥平面DAE，MF?平面MNF；
∴MF∥平面DAE．

點(diǎn)評(píng) 考查三角形中位線的性質(zhì)，等腰三角形底邊的中線也是高線，線面平行的判定定理，面面平行的判定定理，以及面面平行的性質(zhì)．