6.某餐飲連鎖企業(yè)在某地級(jí)市東城區(qū)和西城區(qū)各有一個(gè)加盟店,兩店在2015年的1~7月份的利潤(rùn)y(單位:萬元)如莖葉圖所示:
(1)計(jì)算甲店和乙店在1~7月份的平均利潤(rùn),比較兩店利潤(rùn)的分散程度(不用計(jì)算);
(2)從這兩點(diǎn)1~7月份的14個(gè)利潤(rùn)中選取2個(gè),設(shè)這2個(gè)利潤(rùn)中“大于45萬元”的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
(3)假設(shè)甲店1~7月份的利潤(rùn)恰好是遞增的,判斷甲店的利潤(rùn)y和月份t是否具有線性相關(guān)關(guān)系,若具有,預(yù)測(cè)甲店8月份的利潤(rùn),若沒有,請(qǐng)說明理由.(小數(shù)點(diǎn)后保留兩位小數(shù))
附:回歸直線的斜率的最小乘法估計(jì)公式:
b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}({t}_{i}-\overline{t})({y}_{i}-\overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}({t}_{i}-\overline{t})^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}{y}_{i}-n\overline{t}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}^{2}-n{\overline{t}}^{2}}$.

分析 (1)計(jì)算甲、乙兩店利潤(rùn)的平均數(shù),并分析莖葉圖中的數(shù)據(jù)離散情況,即可得出結(jié)論;
(2)分析表中數(shù)據(jù),求出X的可能取值以及對(duì)應(yīng)的概率,列出X的分布列,計(jì)算數(shù)學(xué)期望值;
(3)判斷甲店的利潤(rùn)y和月份t具有相關(guān)關(guān)系,利用公式求出線性回歸方程,并預(yù)測(cè)利潤(rùn)大。

解答 解:(1)經(jīng)計(jì)算,甲店利潤(rùn)的平均水平為43,乙店利潤(rùn)的平均水平也為43,
但從莖葉圖看乙店的數(shù)據(jù)比較集中,甲店的數(shù)據(jù)比較分散;
(2)由表知,14個(gè)數(shù)據(jù)中,大于45的有5個(gè),X的可能取值為0,1,2;
P(X=0)=$\frac{{C}_{9}^{2}}{{C}_{14}^{2}}$=$\frac{36}{91}$,P(X=1)=$\frac{{C}_{5}^{1}{•C}_{9}^{1}}{{C}_{14}^{2}}$=$\frac{45}{91}$,
P(X=2)=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{14}^{2}}$=$\frac{10}{91}$;
所以X的分布列為,X的分布列為:

X012
P$\frac{36}{91}$$\frac{45}{91}$$\frac{10}{91}$
數(shù)學(xué)期望為EX=0×$\frac{36}{91}$+1×$\frac{45}{91}$+2×$\frac{10}{91}$=$\frac{5}{7}$.
(3)根據(jù)甲店的利潤(rùn)y和月份t的散點(diǎn)圖得出甲店的利潤(rùn)y和月份t具有相關(guān)關(guān)系,
計(jì)算$\overline{x}$=4,$\overline{y}$=43,$\underset{\stackrel{7}{∑}}{i=1}$tiyi=1373,$\underset{\stackrel{7}{∑}}{i=1}$${{t}_{i}}^{2}$=140;
再根據(jù)回歸直線的斜率的最小二乘法估計(jì)公式:
b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}({t}_{i}-\overline{t})({y}_{i}-\overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}({t}_{i}-\overline{t})^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}{y}_{i}-n\overline{t}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}^{2}-n{\overline{t}}^{2}}$,
計(jì)算$\stackrel{∧}$=6.04,$\stackrel{∧}{a}$=18.84,
所以線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=6.04t+18.84,
當(dāng)t=8時(shí),預(yù)測(cè)利潤(rùn)為67.16萬元.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了莖葉圖與離散型隨機(jī)變量分布列、數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用問題,也考查了線性回歸方程的應(yīng)用問題,是綜合性題目.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)若l與x軸的交點(diǎn)為P,與曲線C的交點(diǎn)為A,B,求|PA|•|PB|的值.

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