Question

11．設(shè)函數(shù)$f（x）=\frac{2}{3}+\frac{1}{x}（{x＞0}）$，數(shù)列{a_n}滿足${a_1}=1，{a_n}=f（{\frac{1}{{{a_{n-1}}}}}）$，n∈N^*，且n≥2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)n∈N^*，設(shè)${S_n}=\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+\frac{1}{{{a_3}{a_4}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，若${S_n}≥\frac{3t}{4n}$恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)代入計(jì)算可知a_n-a_n-1=$\frac{2}{3}$（n≥2），進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1、公差為$\frac{2}{3}$的等差數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）裂項(xiàng)可知$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{9}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），進(jìn)而并項(xiàng)相加可知S_n=$\frac{3n}{2n+3}$，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求$\frac{4{n}^{2}}{2n+3}$的最小值，通過(guò)令g（x）=$\frac{4{x}^{2}}{2x+3}$（x＞0），求導(dǎo)可知g（x）為增函數(shù)，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，a_n-a_n-1=$\frac{2}{3}$（n≥2），
又∵a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1、公差為$\frac{2}{3}$的等差數(shù)列，
故其通項(xiàng)公式a_n=1+$\frac{2}{3}$（n-1）=$\frac{2n+1}{3}$；
（2）由（1）可知a_n+1=$\frac{2n+3}{3}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{9}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
∴${S_n}=\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+\frac{1}{{{a_3}{a_4}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$
=$\frac{9}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{3n}{2n+3}$，
${S_n}≥\frac{3t}{4n}$恒成立等價(jià)于$\frac{3n}{2n+3}$≥$\frac{3t}{4n}$，即t≤$\frac{4{n}^{2}}{2n+3}$恒成立．
令g（x）=$\frac{4{x}^{2}}{2x+3}$（x＞0），則g′（x）=$\frac{8x（x+3）}{（2x+3）^{2}}$＞0，
∴g（x）=$\frac{4{x}^{2}}{2x+3}$（x＞0）為增函數(shù)，
∴當(dāng)n=1時(shí)$\frac{4{n}^{2}}{2n+3}$取最小值$\frac{4}{5}$，
故實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-∞，$\frac{4}{5}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查裂項(xiàng)相消法，考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，注意解題方法的積累，屬于中檔題．