Question

4．已知函數f（x）=2^x-2，g（x）=ax（x-2a）同時滿足條件：①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②?x∈（-∞，-4），使得f（x）g（x）＜0，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A． （-2，0）
• B． （-∞，-2）
• C． （-8，0）
• D． （0，2）

Answer 1

分析 對于函數：f（x）=2^x-2，x＞1時，f（x）＞0；x=1時，f（x）=0；x＜1時，-2＜f（x）＜0．對于函數：g（x）=ax（x-2a），a≥0時，不滿足條件①，舍去；因此a＜0．由于函數f（x），g（x）同時滿足條件：①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②?x∈（-∞，-4），使得f（x）g（x）＜0，必須x≥1時，g（x）＜0；?x∈（-∞，-4），使得g（x）＜0．利用二次函數的性質即可得出．

解答 解：對于函數：f（x）=2^x-2，x＞1時，f（x）＞0；x=1時，f（x）=0；x＜1時，-2＜f（x）＜0．
對于函數：g（x）=ax（x-2a），a≥0時，不滿足條件①，舍去；∴a＜0．
由于函數f（x），g（x）同時滿足條件：①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②?x∈（-∞，-4），使得f（x）g（x）＜0，
∴x≥1時，g（x）＜0；?x∈（-∞，-4），使得g（x）＜0．
g（x）=a（x-a）²-a²．
∴g（-4）＞0，a＜1，g（1）＜0，
∴16a+8a²＞0，a＜1，a（1-2a）＜0，
解得a＜-2．
故選：B．

點評 本題考查了二次函數與指數函數的性質、簡易邏輯的判定方法，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．