Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx（ω＞0）的圖象與x軸交點的橫坐標構(gòu)成一個公差為$\frac{π}{2}$的等差數(shù)列，把函數(shù)f（x）的圖象沿x軸向右平移$\frac{π}{6}$個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象．若在區(qū)間[0，π]上隨機取一個數(shù)x，則事件“g（x）≥1”發(fā)生的概率為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{6}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由兩角和的正弦把三角函數(shù)化簡，結(jié)合已知求出周期，進一步得到ω，則三角函數(shù)的解析式可求，再由圖象平移得到g（x）的解析式，確定滿足g（x）≥1的范圍，根據(jù)幾何概型利用長度之比可得結(jié)論．

解答 解：f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$），
∵f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx（ω＞0）的圖象與x軸交點的橫坐標構(gòu)成一個公差為$\frac{π}{2}$的等差數(shù)列，
∴函數(shù)f（x）的周期T=2×$\frac{π}{2}$=π，
即$\frac{2π}{ω}$=π，則ω=2，
即f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
把函數(shù)f（x）的圖象沿x軸向右平移$\frac{π}{6}$個單位，
得g（x）=f（x-$\frac{π}{6}$）=2sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
由2sin（2x-$\frac{π}{6}$）≥1，x∈[0，π]，可得sin（2x-$\frac{π}{6}$）$≥\frac{1}{2}$，
由2kπ+$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∵x∈[0，π]，
∴當(dāng)k=0時，解得：x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
∴事件“g（x）≥1”發(fā)生的概率為$\frac{\frac{π}{2}-\frac{π}{6}}{π}$=$\frac{\frac{π}{3}}{π}$=$\frac{1}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查了幾何概型的概率的計算，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，本題考查幾何概型，三角函數(shù)的化簡，學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．