Question

1．已知函數(shù)f（x）=log_a（x²-3x+2），g（x）=log₂（2x²-5x+2）（a＞0，且a≠1），若f（x）＞g（x），求x的取值范圍．

Answer 1

分析 此題要求的是x的取值范圍，應(yīng)考慮以下幾個方面的問題．首先，其為對數(shù)函數(shù)，應(yīng)先滿足定義域要求；第二，關(guān)于a的取值問題，a值不同會影響結(jié)果，所以應(yīng)就a的取值分類討論．分幾種情況呢？由對數(shù)函數(shù)圖象及性質(zhì)可知，對數(shù)函數(shù)值的大小與底數(shù)有關(guān)系，以須通過討論a與2的關(guān)系，又由題中要求a＞0且a≠1，所以分為四類進行討論，然后再考慮真數(shù)之間的關(guān)系，何時滿足題目要求f（x）＞g（x）．

解答 解：因為函數(shù)f_（x）含有待定系數(shù)a，所以對a值分類討論如下：
①當0＜a＜1時，若f（x）＞g（x），由對數(shù)函數(shù)圖象可知當真數(shù)在（0，1）上時不等式成立，
即滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x+2＞0}\\{2{x}^{2}-5x+2＞0}\end{array}\right.}\\{\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x+2＜1}\\{2{x}^{2}-5x+2＜1}\end{array}\right.}\end{array}\right.$，解得$\frac{5-\sqrt{13}}{4}＜x＜\frac{1}{2}或2＜x＜\frac{5+\sqrt{13}}{4}$，

②當1＜a＜2時，若f（x）＞g（x），由對數(shù)函數(shù)圖象可知當真數(shù)在（1，+∞）上時不等式成立，
即滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x+2＞0}\\{2{x}^{2}-5x+2＞0}\end{array}\right.}\\{\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x+2＞1}\\{2{x}^{2}-5x+2＞1}\end{array}\right.}\end{array}\right.$，解得$x＜\frac{3-\sqrt{5}}{2}或x＞\frac{3+\sqrt{5}}{2}$；
③當a=2時，若f（x）＞g（x），由同底對數(shù)的單調(diào)性可知真數(shù)越大函數(shù)值越大，
即滿足不等式$\left\{\begin{array}{l}{\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x+2＞0}\\{2{x}^{2}-5x+2＞0}\end{array}\right.}\\{{x}^{2}-3x+2＞2{x}^{2}-5x+3}\end{array}\right.$，解得$0＜x＜\frac{1}{2}$；
④當a＞2時，若f（x）＞g（x），由對數(shù)函數(shù)圖象可知真數(shù)在（0，1）上時不等式成立，
即滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x+2＞0}\\{2{x}^{2}-5x+2＞0}\end{array}\right.}\\{\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x+2＜1}\\{2{x}^{2}-5x+2＜1}\end{array}\right.}\end{array}\right.$，解得$\frac{5-\sqrt{13}}{4}＜x＜\frac{1}{2}或2＜x＜\frac{5+\sqrt{13}}{4}$；
答：x的取值范圍是；①當0＜a＜1或a＞2時，$\frac{5-\sqrt{13}}{4}＜x＜\frac{1}{2}或2＜x＜\frac{5+\sqrt{13}}{4}$；②當1＜a＜2時，$x＜\frac{3-\sqrt{5}}{2}或x＞\frac{3+\sqrt{5}}{2}$；③當a=2時，$0＜x＜\frac{1}{2}$．

點評 本題目考核的知識內(nèi)容是對數(shù)函數(shù)的大小比較，包括了定義域及二次不等式的有關(guān)內(nèi)容；所用的解題方法是分類討論法，因為其底數(shù)含有字母常量a．易錯點是a的分類不全．