Question

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A（1，0），B（4，0）．若直線x-y+m=0上存在點P使得PA=$\frac{1}{2}$PB，則實數(shù)m的取值范圍是$[-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}]$．

Answer 1

分析 設(shè)P（x，x+m），由PA=$\frac{1}{2}$PB，可得4|PA|²=|PB|²，利用兩點之間的距離公式化為：（x+m）²=4-x²，可得：m=-x±$\sqrt{4-{x}^{2}}$，x∈[-2，2]．通過三角函數(shù)代換即可得出．

解答 解：設(shè)P（x，x+m），∵PA=$\frac{1}{2}$PB，∴4|PA|²=|PB|²，
∴4（x-1）²+4（x+m）²=（x-4）²+（x+m）²，
化為（x+m）²=4-x²，
∴4-x²≥0，解得x∈[-2，2]，
∴m=-x±$\sqrt{4-{x}^{2}}$，
令x=2cosθ，θ∈[0，π]，
∴m=-2cosθ±2sinθ
=$±2\sqrt{2}$$sin（θ±\frac{π}{4}）$∈$[-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}]$，
實數(shù)m的取值范圍是$[-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}]$，
故答案為：$[-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}]$．

點評 本題考查了兩點之間的距離公式、和差化積、三角函數(shù)的求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．