Question

設函數(shù)f（x）=|x+3|-|x-1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤1；
（Ⅱ）若存在x₀，使得f（x₀）≥log₂a成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）將f（x）=|x+3|-|x-1|化為分段函數(shù)，由此解不等式，即可得到；
（Ⅱ）存在x₀，使得f（x₀）≥log₂a成立，等價于f（x）_max≥log₂a，由（Ⅰ）可知，log₂a≤4，解出不等式即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=|x+3|-|x-1|
=

-x-3+x-1，x＜-3 x+3+x-1，-3≤x≤1 x+3-x+1，x＞1

即

-4，x＜-3 2x+2，-3≤x≤1 4，x＞1

由f（x）≤1則x＜-3或

-3≤x≤1 2x+2≤1

，
解得x＜-3或-3≤x≤-

1

2

，
故不等式的解集為（-∞，-

1

2

]．
（Ⅱ）存在x₀，使得f（x₀）≥log₂a成立，等價于f（x）_max≥log₂a，
由（Ⅰ）可知，log₂a≤4，解得0＜a≤16．
故a的取值范圍是（0，16]．

點評：本題考查絕對值函數(shù)及運用，考查函數(shù)的最值，及存在性問題轉化為求函數(shù)的最值問題，考查運算能力，屬于中檔題．