Question

18．已知函數(shù)f（x）=x|x+a|-$\frac{1}{2}$lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和極值之間的關(guān)系即可求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)．

解答 解：f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
（Ⅰ）若a=1，則f（x）=x（x+1）-$\frac{1}{2}$lnx，此時(shí)f（1）=2．
因?yàn)閒′（x）=2x+1-$\frac{1}{2x}$，
所以f′（1）=$\frac{5}{2}$，所以切線方程為y-2=$\frac{5}{2}$（x-1），
即5x-2y-1=0．
（Ⅱ）由于f（x）=x|x+a|-$\frac{1}{2}$lnx，x∈（0，+∞）．
（1）當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）=x²+ax-$\frac{1}{2}$lnx，f′（x）=$\frac{4{x}^{2}+2ax-1}{2x}$，
令f'（x）=0，得x₁=$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$＞0，x₂=$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$＜0（舍去），
且當(dāng)x∈（0，x₁）時(shí)，f'（x）＜0；
當(dāng)x∈（x₁，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，
所以f（x）在（0，x₁）上單調(diào)遞減，在（x₁，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）的極小值點(diǎn)為$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$．
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax-\frac{1}{2}lnx，x≥-a}\\{-{x}^{2}-ax-\frac{1}{2}lnx，0＜x＜-a}\end{array}\right.$．
①當(dāng)x≥-a時(shí)，f′（x）=$\frac{4{x}^{2}+2ax-1}{2x}$，
令f'（x）=0，得x₁=$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$＞0，x₂=$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$＜-a（舍去）．
若$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$≤-a，即a≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則f'（x）≥0，所以f（x）在（-a，+∞）上單調(diào)遞增；
若$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$＞-a，即-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜a＜0，
則當(dāng)x∈（-a，x₁）時(shí)，f'（x）＜0；
當(dāng)x∈（x₁，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，
所以f（x）在區(qū)間（-a，x₁）上是單調(diào)遞減，在（x₁，+∞）上單調(diào)遞增．
②當(dāng)0＜x＜-a時(shí)，f′（x）=$\frac{-4{x}^{2}-2ax-1}{2x}$．
令f'（x）=0，得-4x²-2ax-1=0，記△=4a²-16，
若△≤0，即-2≤a＜0時(shí)，f'（x）≤0，
所以f（x）在（0，-a）上單調(diào)遞減；
若△＞0，即a＜-2時(shí)，則由f'（x）=0得，x₃=$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$，x₄=$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$且0＜x₃＜x₄＜-a，
當(dāng)x∈（0，x₃）時(shí)，f'（x）＜0；
當(dāng)x∈（x₃，x₄）時(shí)，f'（x）＞0；
當(dāng)x∈（x₄，-a）時(shí)，f'（x）＜0，
所以f（x）在區(qū)間（0，x₃）上單調(diào)遞減，在（x₃，x₄）上單調(diào)遞增；在（x₄，-a）上單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)a＜-2時(shí)，f（x）的極小值點(diǎn)為x=$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$和x=-a，極大值點(diǎn)為x=$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$；
當(dāng)-2≤a≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，f（x）的極小值點(diǎn)為x=-a；
當(dāng)a$＞-\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，f（x）的極小值點(diǎn)為x=$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值．