Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，a_n+1=

1+an

1-an

（n∈N⁺），則連乘積a₁a₂a₃…a₂₀₁₃a₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：依次求出數(shù)列的前5項(xiàng)，得到數(shù)列{a_n}是周期為4的周期數(shù)列，且a₁a₂a₃a₄=1，由此能求出a₁a₂a₃…a₂₀₁₃a₂₀₁₄．

解答： 解：∵a₁=2，a_n+1=

1+an

1-an

（n∈N⁺），
∴a2=

1+2

1-2

=-3，
a3=

1-3

1+3

=-

1

2

，
a4=

1- 1 2

1+ 1 2

=

1

3

，
a5=

1+ 1 3

1- 1 3

=2，
∴數(shù)列{a_n}是周期為4的周期數(shù)列，且a₁a₂a₃a₄=1，
∵2014=503×4+2，
∴a₁a₂a₃…a₂₀₁₃a₂₀₁₄=503×1×a₁×a₂=2×（-3）=-6．
故答案為：-6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的連乘積的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意遞推思想的合理運(yùn)用．