Question

10．已知y=f（x）=Asin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，相鄰兩個(gè)最值點(diǎn)間的距離為$\frac{1}{2}\sqrt{64+{π^2}}$，圖象過點(diǎn)（0，1）．
（1）求函數(shù)解析式；
（2）把y=f（x）圖象向右平移m（m＞0）個(gè)單位，所得圖象關(guān)于x=$\frac{π}{3}$對(duì)稱，求m的最小值．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{T}{2}=\frac{π}{2}$，利用周期公式可求ω，利用已知及勾股定理可求A的值，代入（0，1），結(jié)合范圍$-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}$，即可求的φ的值，即可得解函數(shù)解析式．
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可得：$y=f（x-m）=2sin[2（x-m）+\frac{π}{6}]=2sin（2x-2m+\frac{π}{6}）$，由題意可得$sin（\frac{5π}{6}-2m）=±1$，結(jié)合m＞0，即可得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵$\frac{T}{2}=\frac{π}{2}$，
∴$ω=\frac{2π}{T}=2，\sqrt{{{（2A）}^2}+{{（\frac{T}{2}）}^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{64+{π^2}}⇒A=2$，
∴f（x）=2sin（2x+φ）（4分）
代入（0，1）得$sinφ=\frac{1}{2}$，
∵$-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}$，
∴$φ=\frac{π}{6}，f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$（6分）
（2）平移后得$y=f（x-m）=2sin[2（x-m）+\frac{π}{6}]=2sin（2x-2m+\frac{π}{6}）$（8分）
代入$x=\frac{π}{3}$，則$sin（\frac{5π}{6}-2m）=±1$，
令$\frac{5π}{6}-2m=\frac{π}{2}+kπ⇒m=\frac{π}{6}-\frac{π}{2}k，k∈Z$（10分）
∵m＞0，令k=0得${m_{min}}=\frac{π}{6}$（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．