【題目】已知直線、與曲線分別相交于點(diǎn)、、,我們將四邊形稱為曲線的內(nèi)接四邊形.

1)若直線將單位圓分成長(zhǎng)度相等的四段弧,求的值;

2)若直線,與圓分別交于點(diǎn)、,求證:四邊形為正方形;

3)求證:橢圓的內(nèi)接正方形有且只有一個(gè),并求該內(nèi)接正方形的面積.

【答案】1 2)證明見(jiàn)解析 3)證明見(jiàn)解析

【解析】

1)根據(jù)直線分圓分成長(zhǎng)度相等的四段弧,得到,利用點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可.

2)根據(jù)直線與圓相交的位置關(guān)系,利用消元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程,根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行證明即可;

3)根據(jù)橢圓內(nèi)接正方形的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為一元二次方程,根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行證明即可.

解:(1)由于直線將單位圓分成長(zhǎng)度相等的四段弧,

所以

在等腰直角中,圓心到直線的距離為,∴

同理,∴;

2)由題知,直線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,因?yàn)閳A的圓心為原點(diǎn)

所以,故四邊形為平行四邊形.易知,點(diǎn)在對(duì)角線,上.

聯(lián)立解得,由

,

所以,

于是,因?yàn)?/span>,所以四邊形ABCD為正方形.

3)證明:假設(shè)橢圓存在內(nèi)接正方形,其四個(gè)頂點(diǎn)為,,,

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),設(shè)直線、的方程為,因?yàn)?/span>,,,在橢圓上,

所以,

由四邊形為正方形,易知,,,直線的方程為,,

正方形的面積

當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線、的方程分別為,,

顯然.設(shè),,,,

聯(lián)立,所以,

代人,得

同理可得,

因?yàn)?/span>為正方形,所以解得

因?yàn)?/span>,所以,

因此,直線與直線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

所以原點(diǎn)為正方形的中心(由,四邊形為平行四邊形

為正方形知,

代入得,解得(注:此時(shí)四邊形為菱形)

為正方形知,

因?yàn)橹本與直線的距離為,故

,

,與矛盾.

所以,這與矛盾.

即當(dāng)直線的斜率存在時(shí),橢圓內(nèi)不存在正方形.

綜上所述,橢圓的內(nèi)接正方形有且只有一個(gè),且其面積為

練習(xí)冊(cè)系列答案
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2)若把20197、8兩月健身消費(fèi)金額不低于800元的客戶,稱為健身達(dá)人,經(jīng)數(shù)據(jù)處理,現(xiàn)在列聯(lián)表中得到一定的相關(guān)數(shù)據(jù),請(qǐng)補(bǔ)全空格處的數(shù)據(jù),并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為健身達(dá)人與性別有關(guān)?

健身達(dá)人

非健身達(dá)人

總計(jì)

10

30

總計(jì)

3)為吸引顧客,在健身項(xiàng)目之外,該健身館特別推出健身配套營(yíng)養(yǎng)品的銷售,現(xiàn)有兩種促銷方案.

方案一:每滿800元可立減100元;

方案二:金額超過(guò)800元可抽獎(jiǎng)三次,每次中獎(jiǎng)的概率為,且每次抽獎(jiǎng)互不影響,中獎(jiǎng)1次打9折,中獎(jiǎng)2次打8折,中獎(jiǎng)3次打7.

若某人打算購(gòu)買1000元的營(yíng)養(yǎng)品,請(qǐng)從實(shí)際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析應(yīng)該選擇哪種優(yōu)惠方案.

附:

0.150

0.100

0.050

0.010

0.005

2.072

2.706

3.841

6.635

7.879

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