Question

2．如圖，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中點(diǎn)．
（1）求證：AF∥平面BCE；
（2）求證：平面BCE⊥平面CDE．
（3）在DE上是否存在一點(diǎn)P，使直線BP和平面BCE所成的角為30°．

Answer 1

分析 （1）取CE中點(diǎn)M，連結(jié)MF，BM，證明四邊形ABMF是平行四邊形，
（2）由線面垂直的性質(zhì)得四邊形ABMF是矩形，證明BM⊥平面CDE；
（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，構(gòu)造線面角，根據(jù)線段的關(guān)系列方程解出EP．

解答 證明：（1）取CE中點(diǎn)M，連結(jié)MF，BM．∴MF是△CDE的中位線，∴MF∥DE，MF=$\frac{1}{2}DE$，
∵DE∥AB，DE=2AB，∴AB∥MF，AB=MF，∴四邊形ABMF是平行四邊形，
∴AF∥BM，∵AF?平面BCE，BM?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（2）∵AB⊥平面ACD，AF?平面ACD，
∴AB⊥AF，∴四邊形ABMF是矩形，∴BM⊥MF．
∵△ACD是正三角形，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，∴CD⊥AF．
∵AB∥MF，AB⊥平面ACD，
∴MF⊥平面ACD．∵CD?平面ACD，∴MF⊥CD．
∵AF∩MF=F，AF?平面ABMF，MF?平面ABMF，
∴CD⊥平面ABMF，∵BM?平面ABMF，
∴CD⊥BM，∵M(jìn)F∩CD=F，MF?平面CDE，CD?平面CDE，
∴BM⊥平面CDE，∵BM?平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE．
（3）假設(shè)DE上存在一點(diǎn)P，使直線BP和平面BCE所成的角為30°．
連結(jié)DM，過P作PN⊥CE，垂足為N，連結(jié)BN．則∠PBN=30°．
設(shè)AB=1，則DE=AC=CD=AD=2，∴BE=BC=$\sqrt{5}$，CE=2$\sqrt{2}$，DM=CM=$\sqrt{2}$，cos∠BEP=$\frac{DE-AB}{BE}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
設(shè)PN=x，則PE=$\sqrt{2}$x，PB=2x，
在△BPE中，由余弦定理得：PB²=BE²+EP²-2BE•EP•cos∠BEP．
∴4x²=5+2x²-2$\sqrt{2}$x，解得x=$\sqrt{3}-\frac{\sqrt{2}}{2}$＜$\sqrt{2}$，符合題意．
∴DE上存在一點(diǎn)P，使直線BP和平面BCE所成的角為30°．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行，面面垂直的判定與性質(zhì)，線面角的定義，使用假設(shè)法是解決存在性問題的常用方法．