Question

5．設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1和$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=-1（a＞0，b＞0）的離心率分別為e₁，e₂，且連接兩條雙曲線頂點(diǎn)所得四邊形的面積為S₁，連接兩條雙曲線的焦點(diǎn)所得四邊形的面積為S₂，試探究：
（1）e₁與e₂之間的關(guān)系式；
（2）$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由雙曲線的離心率公式和a，b，c的關(guān)系：c²=a²+b²，即可得到所求離心率的關(guān)系式；
（2）運(yùn)用菱形的面積公式可得S₁=$\frac{1}{2}$•2a•2b=2ab，S₂=$\frac{1}{2}$•2c•2c=2c²，再由離心率公式和重要不等式即可得到所求最大值．

解答 解：（1）由雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1可得e₁=$\frac{c}{a}$，
$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=-1，可得e₂=$\frac{c}$，
由c²=a²+b²，
可得$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}$+$\frac{^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}$=1；
（2）由題意可得S₁=$\frac{1}{2}$•2a•2b=2ab，
S₂=$\frac{1}{2}$•2c•2c=2c²，
可得$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{2ab}{2{c}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{c}{a}•\frac{c}}$=$\frac{1}{{e}_{1}{e}_{2}}$，
由$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}$≥$\frac{2}{{e}_{1}{e}_{2}}$，
可得$\frac{1}{{e}_{1}{e}_{2}}$≤$\frac{1}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)e₁=e₂=$\sqrt{2}$時(shí)，
$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$取得最大值$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的關(guān)系，注意運(yùn)用離心率公式和基本量的關(guān)系，考查最值的求法，注意運(yùn)用基本不等式，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．