Question

17．已知數(shù)列{a_n}中，a_n+1=S_n-n+3，n∈N^*，a₁=2．
（1）求證：當(dāng)n≥2時(shí)，n∈N^*時(shí)，{a_n-1}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)b_n=$\frac{n}{{S}_{n}-n+2}$（n∈N^*）的前n項(xiàng)和為T_n．求證：$\frac{1}{3}≤{T}_{n}＜\frac{4}{3}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明：當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，{a_n-1}是等比數(shù)列；
（2）利用{a_n-1}是等比數(shù)列，即可求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）化簡(jiǎn)b_n=$\frac{n}{{S}_{n}-n+2}$（n∈N^*）運(yùn)用錯(cuò)位相減法求T_n，再由不等式的性質(zhì)可得：$\frac{1}{3}$≤T_n＜$\frac{4}{3}$（n∈N^*）．

解答 （1）證明：∵$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n+1}={S}_{n}-n+3}\\{{a}_{n}={S}_{n-1}-（n-1）+3}\end{array}\right.$，（n≥2），
∴a_n+1-a_n=a_n-1⇒a_n+1-1=2（a_n-1），
∴{a_n-1}從第二項(xiàng)起為公比等于2的等比數(shù)列．
（2）解：∵{a_n-1}從第二項(xiàng)起為公比等于2的等比數(shù)列．
∴a₂=S₁-1+3=4，a₁=2a₂-1≠2（a₁-1），
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{3•{2}^{n-2}+1，n≥2}\end{array}\right.$．
（3）證明：由（2）知S_n=a_n+1+n-3=3×2^n-1+n-2⇒b_n=$\frac{n}{3•{2}^{n-1}}$，
則T_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3•2}$+$\frac{3}{3•{2}^{2}}$+$\frac{4}{3•{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{3•{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{3•2}$+$\frac{2}{3•{2}^{2}}$+$\frac{3}{3•{2}^{3}}$+$\frac{4}{3•{2}^{4}}$+…+$\frac{n}{3•{2}^{n}}$，
兩式相減得$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{3}+$$\frac{1}{3•2}$+$\frac{1}{3•{2}^{2}}$+$\frac{1}{3•{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{3•{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{3•{2}^{n}}$
=$\frac{1}{3}$（$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$）--$\frac{n}{3•{2}^{n}}$，
即T_n=$\frac{4}{3}$-$\frac{n+2}{3•{2}^{n-1}}$，
∵b_n＞0，T_n≥T₁=$\frac{1}{3}$，又T_n＜$\frac{4}{3}$．
∴$\frac{1}{3}≤{T}_{n}＜\frac{4}{3}$（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等比數(shù)列的應(yīng)用，以及考查數(shù)列求通項(xiàng)、錯(cuò)位相減法求和，考查學(xué)生的計(jì)算能力．