Question

19．求證：（$\frac{1}{si{n}^{4}α}$-1）（$\frac{1}{co{s}^{4}α}$-1）≥9．

Answer 1

分析 將不等式左邊通分后，利用平方差公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后可得$\frac{8}{si{n}^{2}2α}$+1，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答 證明：（$\frac{1}{si{n}^{4}α}$-1）（$\frac{1}{co{s}^{4}α}$-1）
=$\frac{1-si{n}^{4}α}{si{n}^{4}α}$×$\frac{1-co{s}^{4}α}{co{s}^{4}α}$
=$\frac{（1-si{n}^{2}α）（1+si{n}^{2}α）（1-co{s}^{2}α）（1+co{s}^{2}α）}{si{n}^{4}αco{s}^{4}α}$
=$\frac{（1+si{n}^{2}α）（1+co{s}^{2}α）}{si{n}^{2}αco{s}^{2}α}$
=$\frac{2+si{n}^{2}αco{s}^{2}α}{si{n}^{2}αco{s}^{2}α}$
=$\frac{2}{si{n}^{2}αco{s}^{2}α}$+1
=$\frac{8}{si{n}^{2}2α}$+1≥9．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平方差公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的正弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．