Question

10．如圖1，在直角梯形ADCE中，AD∥EC，EC=2BC，∠ADC=90°，AB⊥EC，點(diǎn)F為線段BC上的一點(diǎn)．將△ABE沿AB折到△ABE₁的位置，使E₁F⊥BC，如圖2．
（Ⅰ）求證：AB∥平面CDE₁；
（Ⅱ）求證：E₁F⊥AC；
（Ⅲ）在E₁D上是否存在一點(diǎn)M，使E₁C⊥平面ABM．說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可證AB∥CD，又CD⊆平面CDE₁，AB?平面CDE₁，即可判定AB∥平面CDE₁；
（Ⅱ）由AB⊥BF，AB⊥BE₁，可證AB⊥FE₁，又E₁F⊥BC，可得E₁F⊥平面ABC，從而可證E₁F⊥AC；
（Ⅲ）取CE₁的中點(diǎn)G，連接BG，經(jīng)點(diǎn)G，在△E₁ CD中作GM∥CD，交E₁ D與點(diǎn)M，連接AM，BM，由CB=BE₁，利用等腰三角形的性質(zhì)可得CE₁⊥BG，又由CE₁⊥AB，可證CE₁⊥平面ABG，利用GM∥CD∥AB，可知點(diǎn)M在平面ABG上，從而可得E₁C⊥平面ABM．

解答 證明：（Ⅰ）∵在直角梯形ADCE中，AD∥EC，∠ADC=90°，AB⊥EC，
∴AB∥CD，
∵CD⊆平面CDE₁，AB?平面CDE₁，
∴AB∥平面CDE₁；
（Ⅱ）∵AB⊥BF，AB⊥BE₁，BF∩BE₁=B，
∴AB⊥平面BFE₁，
∵FE₁?平面BFE₁，
∴AB⊥FE₁，
又∵E₁F⊥BC，BC∩AB=B，
∴E₁F⊥平面ABC，
∵AC?平面ABC，
∴E₁F⊥AC；
（Ⅲ）取CE₁的中點(diǎn)G，連接BG，經(jīng)點(diǎn)G，在△E₁ CD中作GM∥CD，交E₁ D與點(diǎn)M，連接AM，BM，
∵CB=BE₁，
∴CE₁⊥BG，
又∵CE₁⊥AB，AB∩BG=B，
∴CE₁⊥平面ABG，
∵GM∥CD∥AB，
∴點(diǎn)M在平面ABG上，
∴E₁C⊥平面ABM．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，熟練掌握空間直線與平面之間平行及垂直的判定定理、性質(zhì)定理、定義、幾何特征是解答此類問題的關(guān)鍵，屬于中檔題．