Question

17．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的動弦BC平行于虛軸，M，N是雙曲線的左、右頂點，求直線MB，CN的交點P的軌跡方程．

Answer 1

分析 利用三點共線建立方程，利用B（x₀，y₀）在雙曲線上，化簡即可求得軌跡方程．

解答 解：設B（x₀，y₀），C（x₀，-y₀），直線MB與直線NC的交點P（x，y），
∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左、右頂點分別為M、N，
∴M（-a，0），N（a，0）
∴由M、P、B三點共線，得$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$=$\frac{y}{x+a}$，…①
由N、C、P三點共線，得$\frac{{y}_{0}}{a-{x}_{0}}$=$\frac{y}{x-a}$，…②
聯(lián)立①②，解得x₀=$\frac{{a}^{2}}{x}$，y₀=$\frac{ay}{x}$，
∵B（x₀，y₀）在雙曲線上，
∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}$=1，
∴所求軌跡的方程為$\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}$-$\frac{{a}^{2}{y}^{2}}{^{2}{x}^{2}}$=1，
化簡得，$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（x≠0，y≠0）．

點評 本題考查雙曲線方程和性質，考查三點共線的知識和化簡整理的能力，考查運算能力，屬于中檔題．