Question

16．已知f（x）=x²-16x+q+3
（1）若函數在[-1，1]上的最大值為2，求q的值
（2）問：是否存在常數q（0＜q＜10），使得當x∈[q，10]時，f（x）的最小值為-51？若存在，求出q的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）f（x）配方后，根據函數在[-1，1]上的最大值為2，求出q的值即可；
（2）分0＜q≤8與8＜q＜10兩個范圍，由x∈[q，10]時，f（x）的最小值為-51，求出q的值即可．

解答 解：（1）f（x）=x²-16x+q+3=x²-16x+64+q-61=（x-8）²+q-61，
由函數在[-1，1]上的最大值為2，得到f（-1）=2，
即81+q-61=2，
解得：q=-18；
（2）當0＜q≤8時，f（x）最小值為f（8）=-51，
解得：q=10，不合題意，舍去；
當8＜q＜10時，f（x）最小值為f（q）=-51，
解得：q=9或者q=6（舍去），
∴q=9，
綜上所述：存在常數q=9，符合題意．

點評 此題考查了二次函數的性質，以及函數最值及其幾何意義，熟練掌握二次函數的性質是解本題的關鍵．