Question

7．在極坐標(biāo)系中，已知圓C圓心的極坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），半徑為$\sqrt{3}$．
（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）以極點(diǎn)為原點(diǎn)，以極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），直線l交圓C于A、B兩點(diǎn)，且|AB|∈[2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{3}$），求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）圓C圓心的極坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），化為直角坐標(biāo)：C（1，1），半徑為$\sqrt{3}$．直角坐標(biāo)方程為：（x-1）²+（y-1）²=3，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出極坐標(biāo)方程．
（2）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入圓的方程可得：t²+（2cosα+2sinα）t-1=0，利用|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$∈[2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{3}$），即可得出．

解答 解：（1）圓C圓心的極坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），化為直角坐標(biāo)：C（1，1），半徑為$\sqrt{3}$．
∴直角坐標(biāo)方程為：（x-1）²+（y-1）²=3，化為x²+y²-2x-2y=1，化為極坐標(biāo)方程：ρ²-2ρcosθ-2ρsinθ=1．
（2）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入圓的方程可得：（1+tcosα）²+（1+tsinα）²=3，
化為：t²+（2cosα+2sinα）t-1=0，
∴t₁+t₂=-（2cosα+2sinα），t₁t₂=-1，
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（2cosα+2sinα）^{2}+4}$=$\sqrt{8+8sinαcosα}$∈[2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{3}$），
∴0≤sinαcosα$＜\frac{1}{2}$，
解得：0≤tanα＜1．
∴直線l的斜率k的取值范圍是[0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、弦長(zhǎng)問(wèn)題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．