Question

17．已知函數(shù)f（x）=cos⁴x+2sinxcosx-sin⁴x+1
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二倍角公式化為f（x）=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+1$，從而求出函數(shù)的最小正周期；（2）由（1）結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性解不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）f（x）=cos2x+sin2x+1=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+1$…（4分）
∴f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$．…（6分）
（2）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z得$-\frac{3π}{8}+kπ≤x≤\frac{π}{8}+kπ$，k∈Z
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$[-\frac{3π}{8}+kπ，\frac{π}{8}+kπ]$（k∈Z）； …（9分）
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z得$\frac{π}{8}+kπ≤x≤\frac{5π}{8}+kπ$，k∈Z．
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是$[\frac{π}{8}+kπ，\frac{5π}{8}+kπ]$（k∈Z）．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，函數(shù)的周期性，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道中檔題．