Question

已知拋物線Ω的頂點是坐標原點O，焦點F在y軸正半軸上，過點F的直線l與拋物線交于M、N兩點且滿足

OM

•

ON

=-3．
（1）求拋物線Ω的方程；
（2）若直線y=x與拋物線Ω交于A、B兩點，在拋物線Ω上是否存在異于A，B的點C，使得經(jīng)過A，B，C三點的圓和拋物線Ω在切點處有相同的切線？若存在，求出點C坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設拋物線方程為：x²=2py，焦點為（0，

p

2

），直線l：y=kx+

p

2

，聯(lián)立拋物線方程，消去y，運用兩根之積，再由向量的數(shù)量積的坐標公式，得到方程，解出即可；
（2）求出點A，B，假設拋物線L：x²=4y上存在點C（t，

t2

4

）（t≠0且t≠4），使得經(jīng)過A、B、C三點的圓和拋物線L在點C處有相同的切線．設圓的圓心坐標為N（a，b），由圓的半徑相等，得到a，b用t表示，
再由切線的斜率與導數(shù)的關系，及兩直線垂直的關系，得到a，b，t的方程，再將a，b代入，得到t的方程，解出t，即可得到結論．

解答： 解：（1）設拋物線方程為：x²=2py，
焦點為（0，

p

2

），直線l：y=kx+

p

2

，
代入拋物線方程，得到x²-2pkx-p2=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x₁x₂=-p²，y_iy₂=

x12

2p

•

x22

2p

=

p2

4

，
由于

OM

•

ON

=-3，即有x₁x₂+y₁y₂=-3，
即有

p2

4

-p²=-3，解得p=2，
即有拋物線方程為x²=4y；
（2）由y=x和拋物線方程．聯(lián)立求得A（0，0），B（4，4）．
假設拋物線L：x²=4y上存在點C（t，

t2

4

）（t≠0且t≠4），
使得經(jīng)過A、B、C三點的圓和拋物線L在點C處有相同的切線．
設圓的圓心坐標為N（a，b），
∵

|NA|=|NB| |NA|=|NC|

，∴

a+b=4 4a+tb=2t+ 1 8 t3

，
解得

a=- t2+4t 8 b= t2+4t+32 8

，
∵拋物線L在點C處切線的斜率為k=y′|_x=t=

t

2

，而t≠0，且該切線與NC垂直，
∴

b- t2 4

a-t

•

t

2

=-1，即2a+bt-2t-

1

4

t³=0．
將

a=- t2+4t 8 b= t2+4t+32 8

代入上式，得t³-2t²-8t=0．
即t（t-4）（t+2）=0．∵t≠0且t≠4，∴t=-2．
故滿足題設的點C存在，其坐標為 （-2，1）．

點評：本題考查拋物線方程和性質，考查直線與拋物線的位置關系，考查拋物線的切線，考查學生的綜合能力，難度較大．