Question

15．已知f（x）=x³+ax²-a²x+2
（1）當(dāng)a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線方程
（2）當(dāng)a≠0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（3）不等式2x1nx≤f′（x）+a²+1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出切點(diǎn)坐標(biāo)，斜率k，k=f′（1），用點(diǎn)斜式即可求出方程；
（2）解含參的不等式：f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（3）分離出參數(shù)a后，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題解決，注意函數(shù)定義域．

解答 解：（1）∵a=1，∴f（x）=x³+x²-x+2，
∴f′（x）=3x²+2x-1，∴k=f′（1）=4，又f（1）=3，即切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）．
∴所求切線方程為y-3=4（x-1），即4x-y-1=0．
（2）f′（x）=3x²+2ax-a²=（x+a）（3x-a），由f′（x）=0，得x=-a或x=$\frac{a}{3}$．
①當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＜0，得-a＜x＜$\frac{a}{3}$；由f′（x）＞0，得x＜-a或x＞$\frac{a}{3}$，
此時(shí)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-a，$\frac{a}{3}$），單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-a）和（$\frac{a}{3}$，+∞）．
②當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）＜0，得$\frac{a}{3}$＜x＜-a；由f′（x）＞0，得x＜$\frac{a}{3}$或x＞-a．
此時(shí)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（$\frac{a}{3}$，-a），單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，$\frac{a}{3}$）和（-a，+∞）．
綜上：當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的減區(qū)間為（-a，$\frac{a}{3}$），增區(qū)間為（-∞，-a）和（$\frac{a}{3}$，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的減區(qū)間為（$\frac{a}{3}$，-a），增區(qū)間為（-∞，$\frac{a}{3}$）和（-a，+∞）．
（3）依題意x∈（0，+∞），不等式2xlnx≤f′（x）+a²+1恒成立，
等價(jià)于2xlnx≤3x²+2ax+1在（0，+∞）上恒成立，
可得a≥lnx-$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2x}$在（0，+∞）上恒成立，
設(shè)h（x）=lnx-$\frac{3x}{2}$-$\frac{1}{2x}$，則h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2{x}^{2}}$=-$\frac{（x-1）（3x+1）}{2{x}^{2}}$．
令h′（x）=0，得x=1，x=-$\frac{1}{3}$（舍），當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＜0，
當(dāng)x變化時(shí)，h′（x），h（x）變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
h′（x）	+	0	-
h（x）	單調(diào)遞增	-2	單調(diào)遞減

∴當(dāng)x=1時(shí)，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2，∴a≥-2．
∴a的取值范圍是[-2，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)最值問題，不等式恒成立常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決．