Question

8．如圖，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=$\sqrt{2}$，D，E是線段BC上的點(diǎn)，且DE=$\frac{1}{3}$BC，則$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AE}$的取值范圍是（　�。�

• A． $[{\frac{8}{9}，\;\frac{4}{3}}]$
• B． $[{\frac{4}{3}，\;\frac{8}{3}}]$
• C． $[{\frac{8}{9}，\;\frac{8}{3}}]$
• D． $[{\frac{4}{3}，\;+∞}）$

Answer 1

分析 建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)D（x，0）則E（x+$\frac{2}{3}$，0），則$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AE}$可表示為關(guān)于x的函數(shù)，根據(jù)x的范圍求出函數(shù)的值域．

解答 解以BC所在直線為x軸，以BC的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則A（0，1），B（-1，0），C（1，0），設(shè)D（x，0），則E（x+$\frac{2}{3}$，0），-1≤x≤$\frac{1}{3}$．
∴$\overrightarrow{AD}$=（x，-1），$\overrightarrow{AE}$=（x+$\frac{2}{3}$，-1），∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AE}$=x²+$\frac{2}{3}$x+1=（x+$\frac{1}{3}$）²+$\frac{8}{9}$．
∴當(dāng)x=-$\frac{1}{3}$時(shí)，$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AE}$取得最小值$\frac{8}{9}$，當(dāng)x=-1或$\frac{1}{3}$時(shí)，$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AE}$取得最大值$\frac{4}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，建立坐標(biāo)系是常用解題方法，屬于中檔題．