Question

14．如圖，四邊形ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，PD∥BE，AD=PD=2BE=2，∠DAB=60°，點(diǎn)F為PA的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）求證：平面PAE⊥平面PAD；
（Ⅲ）求三棱錐P-ADE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD中點(diǎn)G，連接FG，BG，則可證四邊形BGFE為平行四邊形．故EF∥BG，從而EF∥平面ABCD；
（II）由△ABD是等邊三角形可得BG⊥AD，由PD⊥平面ABCD可得BG⊥PD，故BG⊥平面PAD，由EF∥BG可證EF⊥平面PAD，從而平面PAE⊥平面PAD；
（III）V_棱錐P-ADE=V_棱錐E-ADP=$\frac{1}{3}$S_△PAD•EF．

解答 解：（Ⅰ）取AD中點(diǎn)G，連接FG，BG，∵點(diǎn)F為PA的中點(diǎn)，
∴FG∥PD且$FG=\frac{1}{2}PD$．
∵BE∥PD，且$BE=\frac{1}{2}PD$，
∴BE∥FG，BE=FG，
∴四邊形BGFE為平行四邊形．
∴EF∥BG，又∵EF?平面ABCD，BG?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
（Ⅱ）連接BD．
∵四邊形ABCD為菱形，∠DAB=60°，∴△ABD為等邊三角形．
∵G為AD中點(diǎn)，∴BG⊥AD，
∵PD⊥平面ABCD，BG?平面ABCD，
∴PD⊥BG，又∵PD∩AD=D，AD?平面PAD，PD?平面PAD，
∴BG⊥平面PAD．
∵四邊形BGFE為平行四邊形，∴EF∥BG，
∴EF⊥平面PAD，又∵EF?平面PAE，
∴平面PAE⊥平面PAD．
（Ⅲ）∵△ABD為等邊三角形，AD=2，∴BG=$\sqrt{3}$．
∵${S_{△PAD}}=\frac{1}{2}PD•AD=2$．$EF=BG=\sqrt{3}$，∴V_棱錐P-ADE=V_棱錐E-ADP=$\frac{1}{3}$S_△PAD•EF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行的判定，面面垂直的判定，棱錐的體積計算，是中檔題．