Question

12．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2a_n-1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記b_n=log₂a_n，求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分n=1與n≥2討論，從而確定數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而解得；
（Ⅱ）化簡b_n=log₂a_n=n-1，令c_n=a_nb_n，從而可得${c_n}={2^{n-1}}（{n-1}）$，從而利用錯(cuò)位相減法求其前n項(xiàng)和．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，由S₁=2a₁-1得，
a₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=2a_n-1，S_n-1=2a_n-1-1，
故a_n=2a_n-2a_n-1，
故a_n=2a_n-1，
故數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
則a_n=2^n-1；
（Ⅱ）b_n=log₂a_n=n-1，
令c_n=a_nb_n，
則${c_n}={2^{n-1}}（{n-1}）$，
故T_n=0•2⁰+1•2¹+2•2²+3•2³+4•2⁴+…+（n-1）2^n-1，
$2{T_n}=0×{2^1}+1×{2^2}+2×{2^3}+…+（{n-2}）•{2^{n-1}}+（{n-1}）•{2^n}$，
兩式相減得，
$-{T_n}=0+{2^1}+{2^2}+…+{2^{n-1}}-（{n-1}）•{2^n}=\frac{{2（{1-{2^{n-1}}}）}}{1-2}-（{n-1}）•{2^n}$=-2+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ
∴${T_n}=n•{2^n}-{2^{n+1}}+2$．

點(diǎn)評 本題考查了分類討論的思想應(yīng)用及錯(cuò)位相減法的應(yīng)用，同時(shí)考查了學(xué)生的化簡運(yùn)算能力．