Question

13．如圖，已知圓E：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16，點(diǎn)F（$\sqrt{3}$，0），P是圓E上任意一點(diǎn)．線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．
（1）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程；
（2）設(shè)直線l與（1）中軌跡Γ相交于A，B兩點(diǎn)，直線AO，l，OB的斜率分別為k₁，k，k₂（其中k＞0），若k₁，k，k₂恰好構(gòu)成公比不為1的等比數(shù)列，求k的值．

Answer 1

分析 （1）通過線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q，利用橢圓的定義求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程；
（2）通過設(shè)直線l的方程為：y=kx+m（其中k＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線與橢圓方程、利用韋達(dá)定理可知x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，△=16（1+4k²-m²）＞0，利用k²=k₁k₂代入化簡計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）連結(jié)QF，根據(jù)題意，|QP|=|QF|，
則|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4$＞|EF|=2\sqrt{3}$，
故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡Γ是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓．      
設(shè)其方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，可知a=2，$c=\sqrt{{a^2}-{b^2}}=\sqrt{3}$，則b=1，
所以點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）設(shè)直線l的方程為：y=kx+m（其中k＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線l的方程代入橢圓方程，消去y整理得：
（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，且△=16（1+4k²-m²）＞0，
∵k₁，k，k₂恰好構(gòu)成公比不為1的等比數(shù)列，
∴k²=k₁k₂=$\frac{（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
即k²•$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$=k²•$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$+km•（-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$）+m²，
整理得：m²-4k²m²=0，
∵m≠0，
∴k=$\frac{1}{2}$或k=-$\frac{1}{2}$（舍）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．