Question

8．如圖，當(dāng)拋物線形拱橋的拱頂距水面2米時，測得水面寬4米．若水面下降0.5米，則水面寬$2\sqrt{5}$米．

Answer 1

分析 可建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為x²=2py，從而由題意知點（2，-2）在拋物線上，帶入拋物線方程便可求出p=-1，這便得出拋物線方程為x²=-2y．而根據(jù)題意知點（x₀，-2.5）在拋物線上，從而可以求出x₀，從而水面寬度便為2|x₀|，即得出水面寬度．

解答 解：建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：

設(shè)拋物線方程為x²=2py；
根據(jù)題意知，A（2，-2）在拋物線上；
∴4=2p•（-2）；
∴p=-1；
∴x²=-2y；
設(shè)B（x₀，-2.5）在拋物線上，則：${{x}_{0}}^{2}=-2•（-2.5）$；
∴${x}_{0}=±\sqrt{5}$；
∴水面下降0.5米，則水面寬為$2\sqrt{5}$．
故答案為：$2\sqrt{5}$．

點評 考查通過建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)曲線上點的坐標(biāo)求出曲線方程，利用曲線方程解決幾何問題的方法，以及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，數(shù)形結(jié)合解題的方法．