Question

20．某中學高一年級共8個班，現(xiàn)從高一年級選10名同學組成社區(qū)服務小組，其中高一（1）班選取3名同學，其它各班各選取1名同學．現(xiàn)從這10名同學中隨機選取3名同學，到社區(qū)老年中心參加“尊老愛老”活動（每位同學被選到的可能性相同）．
（Ⅰ）求選出的3名同學來自不同班級的概率；
（Ⅱ）設X為選出同學中高一（1）班同學的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設“選出的3名同學來自不同班級”為事件A，利用排列組合知識能求出選出的3名同學來自班級的概率．
（Ⅱ）隨機變量X的所有可能值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量X的分布列和隨機變量X的數(shù)學期望E（X）．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）設“選出的3名同學來自不同班級”為事件A，
則P（A）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{7}^{2}+{C}_{3}^{0}{C}_{7}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{49}{60}$．
所以選出的3名同學來自不同班級的概率為$\frac{49}{60}$．…（5分）
（Ⅱ）隨機變量X的所有可能值為0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{0}{C}_{7}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{24}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{7}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{21}{40}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{7}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{40}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}{C}_{7}^{0}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{120}$，
∴隨機變量X的分布列是

X	0	1	2	3
P	$\frac{7}{24}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{1}{120}$

隨機變量X的數(shù)學期望E（X）=$0×\frac{7}{24}+1×\frac{21}{40}+2×\frac{7}{40}+3×\frac{1}{120}$=$\frac{9}{10}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列的數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．