Question

20．某中學(xué)高一年級(jí)共8個(gè)班，現(xiàn)從高一年級(jí)選10名同學(xué)組成社區(qū)服務(wù)小組，其中高一（1）班選取3名同學(xué)，其它各班各選取1名同學(xué)．現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到社區(qū)老年中心參加“尊老愛老”活動(dòng)（每位同學(xué)被選到的可能性相同）．
（Ⅰ）求選出的3名同學(xué)來(lái)自不同班級(jí)的概率；
（Ⅱ）設(shè)X為選出同學(xué)中高一（1）班同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)“選出的3名同學(xué)來(lái)自不同班級(jí)”為事件A，利用排列組合知識(shí)能求出選出的3名同學(xué)來(lái)自班級(jí)的概率．
（Ⅱ）隨機(jī)變量X的所有可能值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的分布列和隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）設(shè)“選出的3名同學(xué)來(lái)自不同班級(jí)”為事件A，
則P（A）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{7}^{2}+{C}_{3}^{0}{C}_{7}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{49}{60}$．
所以選出的3名同學(xué)來(lái)自不同班級(jí)的概率為$\frac{49}{60}$．…（5分）
（Ⅱ）隨機(jī)變量X的所有可能值為0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{0}{C}_{7}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{24}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{7}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{21}{40}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{7}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{40}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}{C}_{7}^{0}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{120}$，
∴隨機(jī)變量X的分布列是

X	0	1	2	3
P	$\frac{7}{24}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{1}{120}$

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）=$0×\frac{7}{24}+1×\frac{21}{40}+2×\frac{7}{40}+3×\frac{1}{120}$=$\frac{9}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列的數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．