Question

10．已知函數(shù)f（x）=x|x-a|．
（1）當(dāng)a=4，2≤x≤5，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（2）當(dāng)x∈[1，2]，不等式f（x）≤1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若存在實(shí)數(shù)t（t＞a），當(dāng)x∈[0，t]時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，$\frac{t}{2}$]，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)f（x）=x|x-4|=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x，2≤x≤4}\\{{x}^{2}-4x，4＜x≤5}\end{array}\right.$，從而由分段函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)性，從而求最值；
（2）當(dāng)x∈[1，2]，不等式f（x）≤1恒成立可轉(zhuǎn)化為f_max（x）≤1，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）在[1，2]上的最大值問(wèn)題，分類討論求函數(shù)的最大值即可；
（3）當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）=x（x-a）在[0，t]上是增函數(shù)，從而求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
當(dāng)a＞0時(shí)，化簡(jiǎn)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（a-x），0≤x≤a}\\{x（x-a），a＜x≤t}\end{array}\right.$；從而可得f（x）在[0，a]上的最大值為f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$；在（a，t]上的最大值為f（t）=t（t-a）；從而討論最值的位置得到不等式組，解之即可．

解答 解：（1）由題意得，
f（x）=x|x-4|=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x，2≤x≤4}\\{{x}^{2}-4x，4＜x≤5}\end{array}\right.$，
則f（x）在[2，4]上是減函數(shù)，在[4，5]上是增函數(shù)，
且f（2）=4，f（4）=0，f（5）=5；
故f_max（x）=5，f_min（x）=0；
（2）①當(dāng)a≤1時(shí)，f（x）=x|x-a|=x（x-a），
故f_max（x）=2（2-a）≥2，故不成立；
②當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）=x|x-a|=-x（x-a），
f（1）=a-1＞1，故不成立；
③當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x|x-2|=-x（x-2）≤1恒成立；
④當(dāng)1＜a＜2時(shí)，
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（a-x），1≤x≤a}\\{x（x-a），a＜x≤2}\end{array}\right.$，
則可得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=（a-1）≤1}\\{f（2）=2（2-a）≤1}\end{array}\right.$，
解得，$\frac{3}{2}$≤a＜2；
綜上所述，
實(shí)數(shù)a的取值范圍為[$\frac{3}{2}$，2]；
（3）①當(dāng)a≤0時(shí)，
f（x）=x（x-a）在[0，t]上是增函數(shù)，
故t（t-a）=$\frac{t}{2}$，
故t=a+$\frac{1}{2}$＞0，
故a＞-$\frac{1}{2}$；
故-$\frac{1}{2}$＜a≤0；
②當(dāng)a＞0時(shí)，
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（a-x），0≤x≤a}\\{x（x-a），a＜x≤t}\end{array}\right.$；
故f（x）在[0，a]上的最大值為f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$；
f（x）在（a，t]上的最大值為f（t）=t（t-a）；
若函數(shù)f（x）在x=$\frac{a}{2}$時(shí)取得最大值，則
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}}{4}=\frac{t}{2}}\\{\frac{{a}^{2}}{4}≥t（t-a）}\\{t＞a}\end{array}\right.$，
解得，2＜a≤1+$\sqrt{2}$，
若函數(shù)f（x）在x=t時(shí)取得最大值，則
$\left\{\begin{array}{l}{t（t-a）=\frac{t}{2}}\\{t（t-a）≥\frac{{a}^{2}}{4}}\\{t＞a}\end{array}\right.$，
解得，0＜a≤1+$\sqrt{2}$，
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為
（-$\frac{1}{2}$，1+$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)，絕對(duì)值函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)考查了恒成立問(wèn)題及分類討論的思想應(yīng)用，屬于難題．