Question

11．觀察下列等式：1³=1，2³=3+5，3³=7+9+11，4³=13+15+17+19，…若某數(shù)n³按上述規(guī)律展開后，發(fā)現(xiàn)等式右邊含有“2015”這個數(shù)，則n=（　　）

• A． 44
• B． 45
• C． 46
• D． 47

Answer 1

分析 由題意和等差數(shù)列的前n項和公式，求出前n個正整數(shù)的三次冪的“數(shù)因子”的個數(shù)是$\frac{n（n+1）}{2}$，再判斷出2015是第1008個奇數(shù)，再由條件和特值法判斷出2015應(yīng)是45³的一個“數(shù)因子”．

解答 解：由題意知，n³可表示為n個連續(xù)奇數(shù)的和，且所有正整數(shù)的“數(shù)因子”都是按照從小到大的順序排列的，
所以前n個正整數(shù)的三次冪的“數(shù)因子”共有1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$個，
因為2015=2×1008-1，故2015是第1008個奇數(shù)，
而$\frac{44×45}{2}$=990＜1008，$\frac{45×46}{2}$，
所以44³的最大“數(shù)因子”是第990個奇數(shù)，45³的最大“數(shù)因子”是第1035個奇數(shù)，
故第1008個奇數(shù)：2015應(yīng)是45³的一個“數(shù)因子”，
故選：B

點評 本題考查了新定義的應(yīng)用，歸納推理，等差數(shù)列的前n項和公式，難點在于發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，考查觀察、分析、歸納能力．