Question

3．如圖，△ABC是直角三角形，∠C為直角，D是斜邊AB上一點(diǎn)，以BD為直徑的圓O與AC相切于點(diǎn)E，與BC相交于點(diǎn)F．
（1）求證：BE²=BC•BD；
（2）若DE=6，CF=4，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合弦切角定理，圓周角定理，及三角形相似的判定定理，可得△BEC∽△BDE，再由相似三角形的性質(zhì)，得到BE²=BC•BD；
（2）若DE=6，CF=4，根據(jù)Rt△CFE∽R(shí)t△EDB，△FEC∽△EBC，可得$sin∠CEF=sin∠CBE=\frac{2}{3}$，進(jìn)而求出CE，BC，BE，BD的長(zhǎng)，再由$\frac{AE}{AE+CE}=\frac{OE}{BC}=\frac{2}{3}$，可得答案．

解答 證明：（1）∵圓O與AC相切于點(diǎn)E，
∴∠BEC=∠BDE．
∵BD是圓O的直徑，
∴∠BED=90°，
又∵∠C=90°，
∴△BEC∽△BDE----3
∴$\frac{BC}{BE}=\frac{BE}{BD}$
∴BE²=BC•BD------5
解：（2）∵∠CFE=∠EDB，
∴Rt△CFE∽R(shí)t△EDB，
∴$\frac{CF}{DE}=\frac{CE}{BE}=\frac{2}{3}$，
∴$sin∠CBE=\frac{2}{3}$，
∵圓O與AC相切于點(diǎn)E，
∴△FEC∽△EBC，
∴$sin∠CEF=sin∠CBE=\frac{2}{3}$
∴EF=6，
∴$CE=\sqrt{E{F^2}-C{F^2}}=2\sqrt{5}$------7
又CE²=CF•CB，
∴BC=5，
∴BE²=CB²+CE²=45，
又∴BE²=BC•BD，
∴BD=9，
∴$OE=\frac{9}{2}$，
∵圓O與AC相切于點(diǎn)E，
∴OE⊥AC，
∴$\frac{AE}{AE+CE}=\frac{OE}{BC}=\frac{2}{3}$，即$\frac{AE}{{AE+2\sqrt{5}}}=\frac{{\frac{9}{2}}}{5}$，
∴$AE=18\sqrt{5}$------10

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)，弦切角定理，圓周角定理，是平面幾何的綜合應(yīng)用，難度較大．